Jól ismert számok a matematika történetében az úgynevezett Fibonacci számok, amelyek olyan számsort jelölnek, amelynek számait úgy képezzük, hogy a sorozatban mindig a legutolsó két számot adjuk össze. Így például: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 stb. Ezt a számsorozatot egy Fibonacci nevű olasz matematikus fedezte fel a középkorban. Majd 700 évvel később egy Ferdinand Lucas nevű francia matematikus felfedezett fel egy ehhez hasonló számsort, amit ugyanígy képzünk, csak ennél a legutolsó két szám összeadását nem 2-vel és 3-al, hanem 3-al és 4-el kezdjük. Így például: 1, 2, 3, 4, 7, 11, 18, 29 stb. Tegnap csak úgy szórakozásból megpróbálkoztam a Fibonacci számok kettő hatványaira, és bizonyos egész számok összegeire bontani, és érdekes felfedezéseket tettem, amiket nem tudom, hogy más felfedezett e már, minden esetre az interneten nem találtam ilyesmit sehol sem.
1
1
2
3
5
8 = (2^2 + 3)
13 = (2^3 + 5) A kettő hatványainak összege 3, vagyis egy Lucas szám.
21 = (2^4 + 5) A kettő hatványainak összege 4, vagyis egy Lucas szám, az 5-ös együtthatók összege 5.
34 = (2^3 + 5) + (2^4 + 5) A kettő hatványainak összege 7, vagyis egy Lucas szám, az 5-ös együtthatók összege 10, (vagyis az előző kettő összege).
55 = (2^3 + 5) + (2^4 + 5) + (2^4 + 5) A kettő hatványainak összege 11, vagyis egy Lucas szám, az 5-ös együtthatók összege 15, (vagyis az előző kettő összege).
89 = (2^3 + 5) + (2^4 + 5) + (2^4 + 5) + (2^3 + 5) + (2^4 + 5) A kettő hatványainak összege 18, vagyis egy Lucas szám, az 5-ös együtthatók összege 25, (vagyis az előző kettő összege).
144 = (2^3 + 5) + (2^4 + 5) + (2^4 + 5) + (2^3 + 5) + (2^4 + 5) + (2^3 + 5) + (2^4 + 5) + (2^4 + 5) A kettő hatványainak összege 29, vagyis egy Lucas szám, az 5-ös együtthatók összege 40, (vagyis az előző kettő összege).
Tehát ha a Fibonacci számokat kettő hatványainak és ötnek az összegeire bontjuk, akkor a kettő hatványkitevőinek az összege mindig egy Lucas számot ad ki, az ötnek az összegei pedig az előző két összegnek az összegei a Fibonacci számok logikájának megfelelően. Ezen felbuzdulva megpróbáltam ugyanígy elemeire bontani a Lucas számokat is, ezúttal a kettő hatványainak és a háromnak az összegeire.
3
4
7 = (2^2 + 3) A kettő hatványainak összege 2, vagyis egy Fibonacci szám.
11 = (2^3 + 3) A kettő hatványainak összege 3, vagyis egy Fibonacci szám.
18 = (2^2 + 3) + (2^3 + 3) A kettő hatványainak összege 5, vagyis egy Fibonacci szám, a hármas együtthatók összege 6, vagyis az előző két szám összege.
29 = (2^2 + 3) + (2^3 + 3) + (2^3 + 3) A kettő hatványainak összege 8, vagyis egy Fibonacci szám, a hármas együtthatók összege 9, vagyis az előző két szám összege.
47 = (2^2 + 3) + (2^3 + 3) + (2^3 + 3) + (2^2 + 3) + (2^3 + 3) A kettő hatványainak összege 13, vagyis egy Fibonacci szám, a hármas együtthatók összege 14, vagyis az előző két szám összege.
Tehát a kettő hatványkitevőinek összegei itt mindig egy Fibonacci számot adnak ki a hármas szám összegei pedig mindig az előző két összeg összegei, mint az imént. Ezután a 3-nál egyel nagyobb 4-es szám összegeit próbáltam hozzáadni a kettő így képzett hatványainak az összegeihez.
8 = (2^2 + 4)
12 = (2^3 + 4)
20 = (2^3 + 4) + (2^2 + 4)
32 = (2^3 + 4) + (2^2 + 4) + (2^3 + 4)
52 = (2^3 + 4) + (2^2 + 4) + (2^3 + 4) + (2^3 + 4) + (2^2 + 4)
Amint láthatjuk kaptunk egy a Fibonacci és a Lucas számokhoz hasonló számsorozatot, ahol szintén mindig a legutolsó két szám összegéből képezzük a következő számot, és ami így egy magasabb rendű Lucas számnak tekinthető mindjárt mondom, hogy miért. Először azonban tegyük meg még egyszer ugyanezt 5 összegeivel is:
9 = (2^2 + 5)
13 = (2^3 + 5)
22 = (2^3 + 5) + (2^2 + 5)
35 = (2^3 + 5) + (2^2 + 5) + (2^3 + 5)
57 = (2^3 + 5) + (2^2 + 5) + (2^3 + 5) + (2^3 + 5) + (2^2 + 5)
Láthatjuk, hogy itt is hasonló eredményre jutottunk, de vajon miért tekinthetőek ezek a számok magasabb rendű Lucas számoknak, és nem csupán önkényesen képzett Fibonacci szerű számsorozatoknak? Ennek a megértéséhez próbáljuk meg kivonni a Fibonacci számokat a Lucas számokból.
3 – 2 = 1
4 – 3 = 1
7 – 5 = 2
11 – 8 = 3
18 – 13 = 5
29 – 21 = 8
47 – 34 = 13
Láthatjuk, hogy Fibonacci számokat kaptunk eredményül, tehát a Lucas számok nem mások, mint két egymásra rétegzett Fibonacci számsor összegei. Most vonjuk ki az általunk képzett magasabb rendű Lucas számokból először a Lucas számokat, majd a második magasabb rendű Lucas számsorból az első magasabb rendű Lucas számsort.
8 – 3 = 5
12 – 4 = 8
20 – 7 = 13
32 – 11 = 21
52 – 18 = 34
9 – 8 = 1
13 – 12 = 1
22 – 20 = 2
35 – 32 = 3
57 – 52 = 5
Láthatjuk, hogy ugyancsak Fibonacci számokat kaptunk eredményül, tehát az így képzett számsorok azért tekinthetőek magasabb rendű Lucas számoknak, mert a Lucas számokhoz hasonlóan szintén egymásra rétegzett Fibonacci számok összegeinek tekinthetőek, és ezt nyilvánvalóan egészen a végtelenségig folytathatjuk, mindig új magasabb rendű Lucas számokat képezve. A magasabb rendű Lucas számok képzésének módszere általam képletbe foglalva, talán nem túl szakszerűen, tehát:
(F2^1 + Fn) = F → ∞ Ahol (F) a Fibonacci számokat jelöli, (n) pedig egy mindig egyel növekvő, változó számot.
Ha pedig a fibonacci számok felbontásával kapott sorozatok együtthatóihoz adunk hozzá egyet, akkor pedig egészen újfajta sorozatokat kapunk, amelyeket én nem tudok hová tenni.
8 = (2^2 + 4)
14 = (2^3 + 6)
22 = (2^4 + 6)
36 = (2^3 + 6) + (2^4 + 6)
9 = (2^2 + 5)
15 = (2^3 + 7)
23 = (2^4 + 7)
38 = (2^3 + 7) + (2^4 + 7)
Azon ötletem támadt ezzel kapcsolatban, hogy létre lehetne hozni erre építve egy olyan közösségi oldalt, vagy közösségi applikációt, ahova, ha regisztrálna valaki, akkor automatikusan ingyen a tulajdonába kerülhetne egy magasabb rendű Lucas számsorozat a Lucas számsorozatok végtelen sorából, és kapna egy webes felületet, ahol kötelező lenne neki építenie ezt a számsorozatot egyrészt, tehát folyamatosan ki kellene számítania az egyes tagjait, ami nagy hasznára lenne a matematika tudományának. Legalább egy hónapban egy számtagját ki kellene számolnia a tulajdonában lévő magasabb rendű Lucas számsorozatnak ahhoz, hogy a tulajdonjoga megmaradjon. Ugyanakkor lehetőséget kellene adni a regisztrált tagoknak arra, hogy ezen a webes felületen, a tulajdonukban lévő Lucas számsorozatokkal kereskedjenek egymás közt. Hogy eladhassák egymásnak a tulajdonukban lévő számsorozatot.
Egy számsorozatot mindenki ingyen kapna, a többit pedig csak vásárlással lehetne megszerezni akár egymástól, vagy akár egy új, még senki által nem birtokolt számsorozat megvásárlására is lehetőséget kellene biztosítani. Ezzel létrehozhatnánk egy újfajta tőzsdei terméket és egy erre épülő új tőzsdei kereskedő felületet, ami nyomába érhetne akár a Bitcoin népszerűségének is. Attól az különböztetné meg, ahogy a többi tőzsdei terméktől is, hogy itt a megvásárolható termékek száma végtelen. Ami érdekes lehetőségeket ígér a tőzsdei kereskedelem jövőjét illetően, mert ilyen még nem volt a tőzsdei kereskedelem történetében, hogy egy tőzsdei termék korlátlan mennyiségben legyen megvásárolható. Kíváncsi lennék rá, hogy ez milyen hatással lenne a tőzsdei kereskedelem jövőjére.
Felhasznált irodalom:
Wikipédia: Fibonacci-számok https://hu.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-sz%C3%A1mok
Wikipédia: Bitcoin https://hu.wikipedia.org/wiki/Bitcoin
Nincsenek megjegyzések:
Megjegyzés küldése